Распространение упругих волн через периодическую систему трещн в низкочастотном режиме

Введение. Исследование проникновения упругих волн через периодические решетки является важной проблемой в области ультразвуковой количественной оценки материалов, распространения звука и для электромагнитных волноводов с диафрагмами. На практике аналитические результаты могут быть получены в предположении низкой частоты, со слабым режимом взаимодействия, когда лишь некоторые приближенные результаты можно установить в аналитической форме. Материалы и методы. В предыдущих работах автором изучены 3-D задача проникновения волны нормальной плоскости с бесконечной двоякопериодической системой трещин в низкочастотном режиме и 2-D задача проникновения волны нормально двум системам, когда каждая содержит бесконечный периодический массив трещин. Целью настоящей работы является обобщение полученных ранее данных - результатов исследования свойств рассматриваемой системы, основанного на плоской задаче о распространении волн в упругих средах с периодическим массивом трещин. Результаты исследования. Настоящая работа продолжает изучение 2-D задачи для трех параллельных массивов, образующих двоякопериодическую систему. Исследование посвящено выводу аналитических выражений коэффициентов отражения и прохождения, когда плоская продольная волна падает на систему трех идентичных плоских решеток, расположенных друг за другом. В режиме частотного диапазона одной моды задача сводится к системе гиперсингулярных интегральных уравнений, решение которой дает эти коэффициенты и явное представление волнового поля внутри структуры. Обсуждения и заключения. Применяемый метод позволяет управлять акустическим фильтром в рассматриваемой решетке выбором соответствующей длины трещины, частоты и расстояния между двумя вертикальными массивами, содержащими периодическую систему трещин.

коэффициенты отражения и прохождения, диапазон частоты, периодическая решетка, интегральное уравнение, система трещин, акустический фильтр, coefficients of reflection and transmission, frequency range, periodic array, integral equation, array of cracks, acoustic filter

1. Achenbach, J.-D. Reflexion and transmission of scalar waves by a periodic array of screens / J.-D. Achenbach, Z.-L. Li // Wave Motion. - 1986. - Vol. 8. - P. 225-234.

2. Miles, J.-W. On Rayleigh scattering by a grating / J.-W. Miles // Wave Motion. - 1982. - Vol. 4. -P. 285-292.

3. Шендеров, Е. Л. Прохождения звука через жесткий экран конечной толщины с отверстиями / Е. Л. Шендеров // Акустический журнал. - 1970. - Т. 16, № 2. - С. 295-304.

4. Locally resonant sonic materials / Z. Liu [et al.] // Science. - 2000. - Vol. 289, iss. 5485. - P. 1734-1736.

5. Scarpetta, E. Explicit analytical results for one-mode oblique penetration into a periodic array of screens / E. Scarpetta, M. A.Sumbatyan // IMA Journal of Applied Mathematics. - 1996. - Vol. 56. - P. 109-120.

6. Scarpetta, E. Low-frequency penetration of acoustic waves through a periodic arbitrary-shaped grating: the three-dimensional problem / E. Scarpetta, M. A. Sumbatyan // Wave Motion. -1995. - Vol. 22. - P. 133-144.

7. Scarpetta, E. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks / E Scarpetta, M.A.Sumbatyan // Wave Motion. -1997. - Vol. 25. - P. 61-72.

8. Scarpetta, E. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings / E. Scarpetta, V. Tibullo // International Journal of Engeneering Science. - 2008. - Vol. 46. - P. 105-111.

9. Remizov, M. Yu. Asymptotic analysis in the anti-plane high-frequency diffraction by interface cracks / M. Yu. Remizov, M. A. Sumbatyan // Applied Mathematical Letters. -2014. - Vol. 34. - P. 72-75.

10. Ремизов, М. Ю. Полуаналитический метод решения задач высокочастотной дифракции упругих волн на трещине / М. Ю. Ремизов, М. А. Сумбатян // Прикладная математика и механика. - 2013. - Т. 77, № 4. - С. 629-635.

11. Remizov, M. Yu. A semi-analytical approach in the high-frequency diffraction by cracks / M. Yu. Remizov, M. A. Sumbatyan, V. Zampoli // Mechanics Research Communications. - 2011. - Vol. 38. - P. 607-609.

12. Remizov, M. Yu. On the theory of acoustic metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles / M. Yu. Remizov, M. A. Sumbatyan // Springer Proceedings in Physics. - 2016. - Vol. 175. - P. 459-474.

13. Remizov, M. Yu. 3-D one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks / M. Yu. Remizov, M. A. Sumbatyan // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2016. - Vol. 4. - С. 125-133.

14. Sneddon, I.-N. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity / I.-N. Sneddon, M. Lowengrub. - London :Wiley,1969. - 312 p.

15. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов // Москва : Наука, 1985. - 256 с.

16. Achenbach, J.-D., Li, Z.-L. Reflexion and transmission of scalar waves by a periodic array of screens. Wave Motion, 1986, vol. 8, pp. 225-234.

17. Miles, J.-W. On Rayleigh scattering by a grating. Wave Motion, 1982, vol. 4, pp. 285-292.

18. Shenderov, E.L. Prokhozhdeniya zvuka cherez zhestkiy ekran konechnoy tolshchiny s otverstiyami. [Transmission of sound through a perforated screen of finite thickness.] Akusticheskiy zhurnal, 1970, vol. 16, no. 2, pp, 295-304 (in Russian).

19. Liu, Z., et al. Locally resonant sonic materials. Science, 2000, vol. 289, iss. 5485, pp. 1734-1736.

20. Scarpetta, E., Sumbatyan, M.A. Explicit analytical results for one-mode oblique penetration into a periodic array of screens. IMA Journal of Applied Mathematics, 1996, vol. 56, pp. 109-120.

21. Scarpetta, E., Sumbatyan, M.A. Low-frequency penetration of acoustic waves through a periodic arbitrary-shaped grating: the three-dimensional problem. Wave Motion, 1995, vol. 22, pp. 133-144.

22. Scarpetta, E., Sumbatyan, M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks. Wave Motion, 1997, vol. 25, pp. 61-72.

23. Scarpetta, E., Tibullo, V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings. International Journal of Engeneering Science, 2008, vol. 46, pp. 105-111.

24. Remizov, M.Yu., Sumbatyan, M.A. Asymptotic analysis in the anti-plane high-frequency diffraction by interface cracks. Applied Mathematical Letters, 2014, vol. 34, pp. 72-75.

25. Remizov, M.Yu., Sumbatyan, M.A. Poluanaliticheskiy metod resheniya zadach vysokochastotnoy difraktsii uprugikh voln na treshchine. [A semi-analytical method of solving problems of the high-frequency diffraction of elastic waves by cracks.] Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, no. 4, pp. 629-635 (in Russian).

26. Remizov, M. Yu., Sumbatyan, M.A., Zampoli,V. A semi-analytical approach in the high-frequency diffraction by cracks. Mechanics Research Communications, 2011, vol. 38, pp. 607-609.

27. Remizov, M. Yu., Sumbatyan, M.A. On the theory of acoustic metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles. Springer Proceedings in Physics, 2016, vol. 175, pp. 459-474.

28. Remizov, M.Yu., Sumbatyan, M.A. 3-D one-mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks. Mathematics and Mechanics of Solids, 2016, vol. 4, pp. 125-133.

29. Sneddon, I.-N., Lowengrub, M. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity. London: Wiley,1969, 312 p.

30. Belotserkovskiy, S.M., Lifanov, I.K. Chislennye metody v singulyarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh primenenie v aerodinamike, teorii uprugosti, elektrodinamike. [Numerical methods for singular integral equations and their application in aerodynamics, elasticity theory , electrodynamics.] Moscow: Nauka, 1985, 256 p. (in Russian).