Точная и приближенная матрица жесткости и вектор узловых нагрузок балочного конечного элемента с линейным законом изменения жесткости по длине

Введение. Современные тенденции в строительстве, связанные с оптимизацией массы и материалов, требуют точных методов расчёта напряжённо-деформированного состояния, в частности для балок переменной жёсткости. Аналитический расчёт напряжённо-деформированного состояния таких балок сопряжён со значительными трудностями, что ограничивает его практическое применение. Для решения подобных задач широко используются численные методы, в частности метод конечных элементов (МКЭ), при этом закон изменения жёсткости обычно аппроксимируется ступенчатой (дискретной) функцией. Цель настоящей работы — разработать подход на основе кусочно-линейной аппроксимации жёсткости. Линейная аппроксимация жёсткости обеспечивает оптимальное соотношение точности, сложности и вычислительных ресурсов. Предлагаемый подход обеспечивает существенно более высокую точность по сравнению с традиционной дискретной аппроксимацией при сопоставимой вычислительной сложности — это позволяет адекватно моделировать как плавные градиенты жёсткости, так и резкие её изменения.

Материалы и методы. В первом приближении матрица жесткости одномерного балочного конечного элемента с линейно изменяющейся изгибной жесткостью получена на основе вариационной формулировки задачи. Точная матрица жесткости — методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки. Точные решения в примерах расчета получены с применением программного комплекса Maple. Численное решение, с использованием метода конечных элементов, реализовано в разработанной автором программе на языке программирования Python.

Результаты исследования. В ходе исследования были получены приближенная и точная матрицы жесткости балочного конечного элемента, а также вектор узловых реакций (нагрузок) от распределенных нагрузок. Эффективность предложенного подхода продемонстрирована на примерах численного расчета. При этом результаты, полученные методом конечных элементов, верифицированы посредством аналитических вычислений. По итогам проведённых расчётов были выработаны рекомендации и критерии для использования точной или приближенной матрицы жесткости.

Обсуждение. Конечные элементы, учитывающие линейное изменение жесткости по длине, позволяют повысить точность получаемых результатов и снизить степень дискретизации расчетной схемы более чем в два раза. Приближенная матрица демонстрирует хорошую сходимость при плавном изменении жесткости по длине. В подобных случаях также допустимо применять дискретную аппроксимацию. Точная матрица позволяет с малой погрешностью рассчитывать ситуации, в которых жесткость в пределах балки изменяется на несколько порядков. Классическая дискретная аппроксимация в таких случаях не обеспечивает высокой точности результатов расчета.

Заключение. В данной работе были получены матрицы жесткости конечных элементов с учетом линейного изменения жесткости по длине. Их вывод осуществлен двумя методами: на основе вариационной постановки задачи и путём непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изгиба. Полученные матрицы позволяют выполнять более точный анализ напряжённо-деформированного состояния балок переменной жесткости. Они обладают аналитическим видом, что упрощает их внедрение в существующие программные комплексы. Дальнейшие исследования будут направлены на применение этих матриц к расчёту железобетонных балок с учетом физической нелинейности, а также на решение задач устойчивости и динамики балок переменной жесткости.

1. Chepurnenko AS, Turina VS, Akopyan VF. Optimization of Rectangular and Box Sections in Oblique Bending and Eccentric Compression. Construction Materials and Products. 2023;6(5):1–14. https://doi.org10.58224/2618-7183-2023-6-5-2

2. Свентиков А.А., Кузнецов Д.Н. Прочность и деформативность стальных балок со ступенчатым изменением толщины стенки. Научный журнал строительства и архитектуры. 2025;1(77):14–23. https://doi.org/10.36622/2541-7592.2025.77.1.002.

3. Godínez-Domínguez E, Tena-Colunga A, Velázquez-Gutiérrez I, Silvestre-Pascacio R. Parametric Study of the Bending Stiffness of RC Cracked Building Beams. Engineering Structures. 2021;243:112695. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.112695

4. Abuizeih YQY, Tamov MM, Leonova AN, Mailyan DR, Nikora NI. Numerical Simulation of Nonlinear Bending Behaviour of UHPC Beams. Construction Materials and Products. 2025;8(4):6. https://doi.org/10.58224/2618-7183-2025-8-4-6

5. Jun Zhao, Yibo Jiang, Gaochuang Cai, Xiangsheng Deng, Amir Si Larbi. Flexural Stiffness of RC Beams with High-Strength Steel Bars after Exposure to Elevated Temperatures. Structural Concrete. 2024;25(5):3081–3102. https://doi.org/10.1002/suco.202300934

6. Imamović D, Skrinar M. Static Bending Analysis of a Transversely Cracked Strip Tapered Footing on a Two-Parameter Soil Using a New Beam Finite Element. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2024;36:571– 584. https://doi.org/10.1007/s00161-024-01283-7

7. Волков А.В., Голубкин К.С. Исследование распределения касательных напряжений в стержне переменного сечения в рамках градиентной теории упругости. Механика композиционных материалов и конструкций. 2025;31(1):40–56. https://doi.org/10.33113/mkmk.ras.2025.31.01.04.

8. Rao Hota VS Ganga, Spyrakos CC. Closed Form Series Solutions of Boundary Value Problems with Variable Properties. Computers & Structures. 1986;23(2):211–215. https://doi.org/10.1016/0045-7949(86)90213-0

9. Banerjee JR, Williams FW. Exact Bernoulli–Euler Static Stiffness Matrix for a Range of Tapered Beams. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1986;23(9):1707–1719. https://doi.org/10.1002/nme.1620230904

10. Ягофаров А.Х. Расчет двухпролетной неразрезной балки переменной жесткости с равными пролетами. Известия высших учебных заведений. Строительство. 2021;(754(10)):55–65. https://doi.org/10.32683/0536-1052-2021-754-10-55-65.

11. Карамышева А.А., Языева С.Б., Чепурненко А.С. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок переменной жесткости. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2016;(1(186)):95–98. https://doi.org/10.17213/0321-2653-2016-1-95-98.

12. Just DJ. Plane Frameworks of Tapering Box and I-Section. Journal of the Structural Division. 1977;103(1):71–86. https://doi.org/10.1061/jsdeag.0004549

13. Brown CJ. Approximate Stiffness Matrix for Tapered Beams. Journal of Structural Engineering (ASCE). 1984;110(12):3050–3055. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1984)110:12(3050)

14. Чередниченко А.П., Потележко Е.А., Тюфанов В.А. Методы расчета балок переменной жесткости. В: Сборник статей международного студенческого строительного форума-2017. Т. 1. Белгород: Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова; 2017. С. 249–252.

15. Ziou H, Guenfoud M. Simple Incremental Approach for Analysing Optimal Non-Prismatic Functionally Graded Beams. Advances in Civil and Architectural Engineering. 2023;14(26):118–137. https://doi.org/10.13167/2023.26.8

16. Bui Thi Thu Hoai, Le Cong Ich, Nguyen Dinh Kien. Size-Dependent Nonlinear Bending of Tapered Cantilever Microbeam Based on Modified Couple Stress Theory. Vietnam Journal of Science and Technology. 2024;62(6):1196–1209. https://doi.org/10.15625/2525-2518/19281

17. Haskul M, Kisa M. Free Vibration of the Double Tapered Cracked Beam. Inverse Problems in Science and Engineering. 2021;29(11):1537–1564. https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1870971

18. Hosseinian N, Attarnejad R. A Novel Finite Element for the Vibration Analysis of Tapered Laminated Plates. Polymer Composites. 2024;45(10):8732–8743. https://doi.org/10.1002/pc.28372

19. Нестеров В.А. Матрица жесткости конечного элемента пространственной балки с низкой трансверсальной сдвиговой жесткостью. Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. Академика М.Ф. Решетнева. 2010;29(3):71–75.

20. Gaidzhurov PP, Saveleva NA. Application of the Double Approximation Method for Constructing Stiffness Matrices of Volumetric Finite Elements. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2023;23(4):365–375. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2023-23-4-365-375

21. Zeinali Y, Jamali M, Musician S. General Form of the Stiffness Matrix of a Tapered Beam-column. International Journal of Mining, Metallurgy & Mechanical Engineering (IJMMME). 2013;1(3):149–153.

22. Peng He, Zhansheng Liu, Chun Li. An Improved Beam Element for Beams with Variable Axial Parameters. Shock and Vibration. 2013;20(4):601–617. https://doi.org/10.3233/SAV-130771

23. Ceba AI. Stiffness Matrix for Bars with Variable Section or Inertia. International Journal of Materials Science and Applications. 2025;14(1):13–28. https://doi.org/10.11648/j.ijmsa.20251401.12

24. Rezaiee-Pajand M, Masoodi AR, Bambaeechee MT. Tapered Beam–Column Analysis by Analytical Solution. Proceedings of the Institution of Civil Engineers — Structures and Buildings. 2019;172(11):789–804. https://doi.org/10.1680/jstbu.18.00062

25. Li Xia Meng, Nian Li Lu, Shi Ming Liu. Exact Expression of Element Stiffness Matrix for a Tapered Beam and Its Application in Stability Analysis. Advanced Materials Research. 2011;255–260:1968–1973. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.255-260.1968

26. Федоринин Н.И., Соломонов К.Н., Тищук Л.И. Универсальное уравнение упругой линии балки линейной жесткости. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022;(9):517–521. https://doi.org/10.24412/2071-6168-2022-9-517-521.

27. Ksenofontova TK, Mareeva OV, Verkhoglyadova AS. Calculation of Monolithic Buildings Structures Taking into Account the Nonlinear Operation of Reinforced Concrete. Construction Materials and Products. 2024;7(1):1–8. https://doi.org/10.58224/2618-7183-2024-7-1-4

28. Deryugin EE. Simplified Calculation of the Inertia Moment of the Cross Section of the Console under Loading. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2024;24(2):159–169. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2024-24-2-159-169.