Наблюдательно-адаптивное управление скользящим режимом с конечным временем сходимости на основе усиленного супер-скручивающего алгоритма для роботизированных манипуляторов

Введение. Роботизированные манипуляторы играют ключевую роль в современных отраслях промышленности, таких как производство, логистика, малоинвазивная хирургия, освоение космоса и сервисная робототехника [1–3]. Их широкое применение в задачах, критически важных с точки зрения безопасности, требует не только высокоточного отслеживания траектории, но и устойчивости к неопределенностям, износу приводов и изменяющимся во времени возмущениям [4–6]. В условиях растущей сложности систем Industry 4.0 и развития взаимодействия человека и робота, потребность в надежных и адаптивных решениях задач управления стала как никогда актуальной [7–9].

Классические методы управления, такие как ПИД-регулирование и управление с вычислением момента, широко используются благодаря своей простоте, но часто оказываются неэффективными в сценариях с сильной нелинейностью, трением и изменением полезной нагрузки [10][11]. Управление по модели предсказания (MPC) улучшает прогнозирование и производительность, но требует точного моделирования и значительных вычислительных ресурсов [4][12][13]. За последние три десятилетия управление скользящим режимом (SMC) стало мощным инструментом благодаря своей устойчивости к немоделируемой динамике и внешним возмущениям [14][15]. Однако традиционное SMC вызывает хорошо известный эффект дрожания, который возбуждает высокочастотную динамику, ускоряет износ привода и ухудшает производительность [15][16].

Для частичного устранения этих недостатков были разработаны передовые методы SMC более высокого порядка [17][18]. В частности, алгоритм супер-скручивания (STA) обеспечивает непрерывное управление с уменьшенным дрожанием. Он был расширен до адаптивных форм [19–21]. Более современные стратегии, такие как адаптивное глобальное интегральное терминальное SMC (AGITSMC), гарантируют сходимость за конечное время с глобальными терминальными скользящими поверхностями [22]. Тем не менее, эти подходы часто требуют точного знания границ возмущений, что приводит к завышенному усилению управления и остаточным эффектам переключения.

Параллельно исследователи изучали адаптации с помощью следящей системы и интеллектуальные адаптации. Следящая система для подавления возмущений, нейронные сети и нечеткие аппроксимации были интегрированы в структуры SMC для повышения адаптивности и отказоустойчивости [23–25]. В недавних работах сообщается о прогрессе в обработке отказов приводов [26][27], люфта [28][29] и насыщения входного сигнала [30][31]. Обзоры усовершенствованного управления манипуляторами [32][33] подчеркивают, что, несмотря на значительный прогресс, выработка единого решения, которое бы уравновешивало сходимость за конечное время, обеспечивало подавление помех с помощью следящей системы, адаптивное регулирование усиления и минимизацию дрожания, остается серьезной проблемой.

Принимая во внимание вышеупомянутые ограничения, данное исследование представляет структуру наблюдательно-адаптивного управления скользящим режимом с конечным временем сходимости на основе усиленного супер-скручивающего алгоритма (OFASTSMC). Предложенный метод интегрирует:

• расширенный наблюдатель состояния с конечным временем выполнения для оперативной оценки локальных помех и отказов привода,
• усиленную поверхность скольжения с адаптивными показателями для ускорения схождения,
• адаптивный закон управления с супер-скручиванием с сглаживанием пограничного слоя для уменьшения дрожания.

Основной вклад данной работы заключается в следующем.

1. Обеспечение строгих теоретических гарантий устойчивости за конечное время при возмущениях и отказах привода на основе анализа функции Ляпунова.
2. Разработка унифицированной адаптивной конструкция, сочетающей обратную связь от следящей системы, адаптивную настройку усиления и плавное управление.
3. Проведение всесторонней проверки на тестовом стенде роботизированного манипулятора с двумя степенями свободы (2-DOF), продемонстрирующего исключительную надежность, точность и отказоустойчивость по сравнению с AGITSMC.

Материалы и методы

1. Математическая модель роботизированного манипулятора с n-DoF

Роботизированные манипуляторы управляются в высшей степени нелинейной и связанной динамикой, что обусловлено их механической структурой и взаимодействием с окружающей средой. Для последовательного роботизированного манипулятора с n степенями свободы (n-DoF), работающего в пространстве суставов, уравнения движения могут быть представлены в стандартной лагранжевой формулировке следующим образом [22]:

, (1)

где q ∈ ℝⁿ — вектор положения сустава;

 — совместные векторы скорости и ускорения;

H(q) ∈ ℝ^n×n — определённо-положительная и симметричная матрица инерции;

 — матрица Кориолиса и центробежная матрица;

G(q) ∈ ℝⁿ — вектор гравитационного момента; F_υ ∈ ℝ^n×n — диагональная матрица коэффициентов вязкого трения; τ ∈ ℝⁿ — управляющий входной крутящий момент; τ_d ∈ ℝⁿ — неизвестный крутящий момент внешнего возмущения; τ_f ∈ ℝⁿ — крутящий момент отказа привода.

Модель отказа привода и возмущений. В ходе моделирования практической деградации и отказов привода мы полагаем, что отказы привода τ_f являются аддитивными, ограниченными и, возможно, изменяющимися во времени. Общий немоделируемый вход определяется как:

. (2)

Мы полагаем, что τ_u(t) ограничен таким образом:

,

где a₀, a₂, a₂ > 0 — неизвестные положительные константы.

Свойства динамики. Динамика манипулятора удовлетворяет следующим стандартным свойствам, которые необходимы для проектирования системы управления и анализа устойчивости:

• P1: H(q) — симметричная и равномерно определенно-положительная.
• P2:
   — кососимметричная.
• P3: все члены
   — локально липшицевы и удовлетворяют полиномиальным ограничениям роста в .

Цель. При заданной траектории q_d (t) ∈ C² задача управления состоит в разработке устойчивого адаптивного закона управления τ(t) таким образом, чтобы:

(3)

за конечное время T < ∞, несмотря на наличие неизвестных ограниченных возмущений τ_d, отказов привода τ_f и параметрических неопределенностей.

2. Разработка алгоритма OFASTSMC

Определение погрешностей отслеживания:

. (4)

Усиленная скользящая поверхность:

(5)

с адаптивными показателями p₁(t), p₂(t) ∈ (0, 1), основанными на величине состояния:

. (6)

Наблюдатель конечного времени (модифицированный ESO):

, (7)

где λ₀ > 0, s_prev является предыдущим значением s.

Законы адаптивного усиления:

. (8)

Закон управления (OFASTSMC):

. (9)

Преимущества перед существующими подходами. По сравнению с традиционным алгоритмом супер-скручивания (STA), предлагаемый OFASTSMC не требует предварительного знания границ возмущений и значительно снижает дрожание за счет адаптивного ограничения усиления и сглаживания пограничного слоя. В отличие от AGITSMC, который обеспечивает сходимость за конечное время, но часто приводит к завышению усиления системы управления и остаточным эффектам переключения, OFASTSMC использует адаптивные показатели на скользящей поверхности и наблюдатель с конечным временем для достижения более быстрой сходимости с более плавными управляющими воздействиями на входе. Кроме того, в отличие от методов, основанных на наблюдателе возмущений [3][23], которые обычно учитывают конструкции с фиксированным коэффициентом усиления, OFASTSMC объединяет обратную связь от наблюдателя с адаптивной настройкой коэффициента усиления в единую структуру, обеспечивая тем самым как устойчивость, так и вычислительную эффективность.

3. Анализ устойчивости

Допущение 1. Искомая траектория q_d (t) ∈ C² ограничена ограниченными производными.

Допущение 2. Возмущение и момент сбоя ограничены:

. (10)

Лемма 1. Сходимость скользящей переменной за конечное время

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

. (11)

Тогда переменная скольжения s(t) сходится к нулю за конечное время T_s, т. е., T_s > 0 так, что s(t) = 0 для всех t ≥ T_s.

Доказательство. Мы определяем функцию-кандидат Ляпунова:

. (12)

Производная V(s):

. (13)

Пусть

,

тогда:

. (14)

Это дифференциальное неравенство в виде:

. (15)

Согласно стандартной теории устойчивости за конечное время [23–25], это означает, что: V(t) → 0 за конечное время.

Оценим время стабилизации. Игнорируя линейный член –2k₁V, при консервативной оценке:

. (16)

Отдельные переменные:

. (17)

Следовательно:

, (18)

где V(0) — это начальное значение Ляпунова, а T_s — максимальное время стабилизации. Таким образом, s(t) → 0 за конечное время.

Теорема 1. Устойчивость погрешности отслеживания за конечное время

Для нелинейной системы робота-манипулятора (1) при управлении с помощью наблюдательно-адаптивного управления скользящим режимом с конечным временем сходимости на основе усиленного супер-скручивающего алгоритма (OFASTSMC) (9) с поверхностью скольжения (5) и адаптивными коэффициентами усиления (8), погрешность слежения e₁ = q – q_d сходится к нулю за конечное время.

Доказательство. Из (4):

. (19)

Подставим закон управления (9) в (19), тогда:

. (20)

Из (5), производная s(t):

. (21)

Тогда:

, (22)

где

.

Мы выбираем функцию-кандидат Ляпунова:

. (23)

Производная V(s):

, (24)

где

.

Теперь проанализируем каждый терм.

Терм 1. Определенно-отрицательная диссипация:

. (25)

Здесь μ = λ_min(H⁻¹) > 0.

Терм 2. Погрешность оценки:

. (26)

Здесь и возникает погрешность оценки. Если наблюдатель хорошо спроектирован, тогда:

. (27)

Таким образом, это ограниченный и исчезающий терм, в конечном итоге определяемый сильным отрицательным рассеянием в Терме 1.

Терм 3. Нелинейный «ограниченный» терм s^TΨ:

. (28)

Пусть

.

Тогда:

. (29)

Объединим (25), (26), (29) и (24):

. (30)

В результате

,

K₁, K₂ растут адаптивно, первые два отрицательных терма преобладают над последними двумя, а

 — сходимость достигается за конечное время.

Из (30):

, (31)

Затем, интегрируя неравенство с помощью теорем сравнения, получаем конечное время стабилизации T, таким образом, что V(t) = 0 для всех t ≥ T, где:

. (32)

Или, более консервативно, если мы проигнорируем линейный терм –c₁V(t), тогда:

. (33)

Как следует из леммы 1, интегрирование этого дает явное время сходимости за конечное время:

. (34)

Результаты. Для подтверждения эффективности и надежности предложенного метода наблюдательно-адаптивного управления скользящим режимом с конечным временем сходимости на основе усиленного супер-скручивающего алгоритма были проведены численные моделирования на плоском роботизированном манипуляторе с двумя степенями свободы (2-DoF) [34–36]. Результаты сравнивались с эталонным методом адаптивного глобального интегрального терминального управления скользящим режимом (AGITSMC) в идентичных условиях.

При заданных массах m₁, m₂, длинах l₁, l₂, и силе тяжести звеньев g, матрицы имеют следующий вид:

• матрица инерции M(q):

(35)

• матрица Кориолиса и центробежная матрица :

(36)

• гравитационный вектор G(q):

(37)

Внешнее возмущение, воздействующее на каждый сустав, определяется как:

(38)

Модель отказа привода предполагает потерю эффективности, которая происходит в момент времени t = 3 (сек). Момент отказа определяется как:

(39)

Для проверки точности отслеживания в условиях динамического опорного движения была выбрана желаемая траектория движения сустава, которая должна быть плавной, ограниченной и нелинейной:

(40)

Физические параметры плоскостного манипулятора с двумя степенями свободы (2-DoF), использованного в моделировании, следующие: m₁ = 0,5(kg); m₂ = 1,5(kg); l₁ = 1,0(kg); l₂ = 0,85(m); g = 9,81(m/s²). Параметры OFASTSMC: λ = 10; α₁ = 5; α₂ = 3; ρ = 0.5; γ₁ = 10; γ₂ = 3; κ₁ = 2; κ₂ = 2; ϕ = 0,05; K₁(0) = 5; K₂(0) = 5. Параметры AGITSMC: β = 3; k₁ = 10; k₂ = 4; k₃ = 2; γ₃ = 5/3; γ₄ = 3/5.

Углы суставов:

Погрешности отслеживания суставов:

Скользящие поверхности суставов:

Законы управления суставами:

Обсуждение. Результаты моделирования показывают, что предложенный метод OFASTSMC демонстрирует превосходные показатели по сравнению с AGITSMC по всем критериям оценки. На рис. 2–5 показано, что OFASTSMC обеспечивает более быструю сходимость к желаемой траектории, уменьшение завышенного регулирования и более жесткие границы погрешности. На рис. 6, 7 подтверждается сходимость по скользящей поверхности за конечное время и более плавные моменты привода, что имеет важное значение для практической реализации. Эти результаты подтверждают теоретические доказательства устойчивости и надежности OFASTSMC в условиях возмущений и отказа привода.

В сравнении с существующими работами, результаты подчеркивают ряд достижений. Например, авторы [14] описывают адаптивный STA за конечное время, который улучшает сходимость, но страдает от высоких амплитуд сигналов управления. Наш метод смягчает это ограничение за счет введения адаптивного ограничения усиления и обратной связи от наблюдателя. Аналогично, в [3] был разработан регулятор на основе наблюдателя возмущений с отказоустойчивостью, но без явного адаптивного усиления скользящей поверхности. OFASTSMC расширяет эту концепцию, объединяя оценку возмущений в реальном времени с нелинейными адаптивными показателями. В недавних обзорах [19][20] подчеркивается необходимость интегрированных систем, которые одновременно обеспечивают сходимость за конечное время, устойчивость к отказам привода и подавление дрожания. Представленное исследование напрямую решает эту проблему, предлагая такой унифицированный подход.

Заключение. На основании проведенного исследования можно сделать следующие основные выводы:

1. Теоретический вклад. Разработана новая система наблюдательно-адаптивного управления скользящим режимом с конечным временем сходимости на основе усиленного супер-скручивающего алгоритма (OFASTSMC). Она сочетает в себе обратную связь от наблюдателя за конечное время, адаптивную настройку усиления и усиленные скользящие поверхности, обеспечивая устойчивость при возмущениях и отказах привода.
2. Увеличение производительности. По сравнению с AGITSMC, предложенный метод снизил максимальную погрешность отслеживания более чем на 40 % и сократил время стабилизации примерно на 25 %. Управляющие сигналы стали более плавными благодаря ограничению усиления и сглаживанию пограничного слоя.
3. Надежность и отказоустойчивость. Адаптивный наблюдатель точно оценивал суммарные возмущения и отказы привода в режиме реального времени, что позволяло эффективно компенсировать их без предварительного знания границ системы.
4. Научная новизна. В отличие от предыдущих методов, которые либо полагаются на консервативные настройки усиления, либо не учитывают интеграцию наблюдателя, OFASTSMC предоставляет единую структуру, обеспечивающую сходимость за конечное время с минимальным дрожанием.

Практическое значение. Предложенный алгоритм эффективен в вычислениях и подходит для реализации в реальном времени. Устойчивость и плавное управление позволяют применять его в промышленных манипуляторах, работающих в условиях неопределенности, в хирургических роботах, где точность и безопасность имеют решающее значение, и в сервисных роботах, взаимодействующих с людьми.

Направления будущих исследований:

• Расширение возможностей OFASTSMC для управления сложными многостепенными манипуляторами в зоне выполнения заданий.
• Проверка аппаратной части на физических роботизированных платформах для подтверждения устойчивости к шуму датчиков и неопределенностям моделей.
• Интеграция с усовершенствованными системами планирования траекторий и взаимодействия человека и робота.
• Исследование гибридных методов, сочетающих OFASTSMC с адаптацией на основе машинного обучения для динамических сред.

Таким образом, OFASTSMC предлагает значительный прогресс в области отказоустойчивого управления роботизированными манипуляторами, сочетая теоретические инновации с практическим применением.