Осесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании сложной структуры

Получено в аналитическом виде приближённое решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределённой нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно - неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок. Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закреплённого и свободного края. 
Построенное приближенное аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров (толщина неоднородного слоя и радиус пластины), таких физических параметров (гибкость пластины и упругие свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро - дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчёта характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры взависимости от граничных условий и характера нагрузки на пластину. 

1. Hager, A. M. Short-Fibre Reinforced, High-Temperature Resistant Polymers for a Wide Field of Tribological Applications / A. M. Hager, M. Davies // Advances in Composite Tribology / K. Friedrich, ed. — Amsterdam : Elsevier, 1993. — Pp. 107‒157.

2. Friedrich, K. Wear of polymer composites / K. Friedrich, R. Reinicke, Z. Zhang // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology. — 2002. — Vol. 216, iss. 6. — Pp. 415‒426.

3. Моделирование фрикционного взаимодействия композиционных покрытий триботехнического назначения / И. Г. Горячева [и др.] // Трение и износ. — 2012. — Т. 33, № 6. — С. 557‒565.

4. Васильев, А. С. Кручение упругого полупространства с многослойным покрытием периодической структуры / А. С. Васильев, Е. В. Садырин, М. Е. Васильева // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2013. — № 5/6 (74). — С. 6‒13.

5. Горбунов-Посадов, М. И. Расчёт балок и плит на упругом полупространстве // Прикладная математика и механика. — 1940. — Т. 4, вып. 3. — С. 61‒80.

6. Ишкова, А. Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве // Инженерный сборник. — 1960. — Т. 23. — С. 171‒181.

7. Гребенщиков, В. Н. Расчёт круглой пластинки на упругом полупространстве // Теория расчёта и надёжность приборов : сб. тр. II Саратовской обл. конф. молодых учёных. — 1969. — С. 48‒51.

8. Александров, В. М. Универсальная программа расчёта изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании / В. М. Александров, Л. С. Шацких // Труды 7-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. — Москва, 1970. — С. 46‒51. 9. Шацких, Л. С. К расчёту изгиба плиты на упругом слое // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. — 1972. — № 2. — С. 170‒176.

9. Александров, В. М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. — 1973. — № 4. — С. 129‒138.

10. Александров, В. М. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, М. Д. Солодовник // Прикладная механика. — 1974. — Т. 10, вып. 7. — С. 77‒83.

11. Босаков, С. В. К решению контактной задачи для круглой пластинки / С. В. Босаков // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72, № 1. — С. 59‒61.

12. Kashtalyan, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading / M. Kashtalyan, M. Menshykova // Composite Structures. — 2009. — Vol. 89, № 2. — Pp. 167‒176.

13. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates / M. Kashtalyan // European Journal of Mechanics A/Solids. — 2004. — Vol. 23, № 5. — Pp. 853‒864.

14. Silva, A. R. D. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations / A. R. D. Silva, R. A. M. Silveira, P. B. Goncßalves // International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, № 10‒13. — Pp. 2083‒2100.

15. Митрин, Б. И. Распределение контактных напряжений под круглой пластиной, лежащей на мягком слое / Б. И. Митрин, С. С. Волков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2013. — № 5/6 (74). — С. 14‒25.

16. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1990. — Т. 54, вып. 5. — С. 872‒877.

17. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. — Москва : Наука, 1970. — 824 с.

18. Белубекян, М. В. К вопросу колебаний неоднородной по толщине пластинки / М. В. Белубекян // Известия национальной академии наук Армении. Механика. — 2002. — Т. 55, № 3. — С. 34‒41.

19. Цейтлин, А. И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании / А. И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1969. — № 1. — С. 99‒112.

20. Айзикович, С. М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1984. — Т. 19, № 2. — С. 73‒82.

21. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59, вып. 4. — С. 688‒697.