NUMERICAL SOLUTION TO BOUNDARY PROBLEMS FOR POISSON EQUATION BY POINTSOURCE METHOD
Abstract
The aim o f t his p a p e r is t h e e fficie n c y im p r o v e m e n t o f o n e o f t h e m o s t a d v a n c e d t e c h niq u e s o f s olvin g t h e ellip tic b o u n d a r y v alu e p r o ble m s — t h e field p oin t- s o u r c e m e t h o d d e sig n a t e d a s t h e f u n d a m e n t al s olu tio n t e c h niq u e in t h e f o r eig n lit e r a t u r e. N o w it is u s e d p rim a rily f o r s olvin g L a pla c e e q u a tio n . S e v e r al alt e r n a t e n u m e ric al s olu tio n s t o t h e b o u n d a r y v alu e p r o ble m s f o r P ois s o n e q u a tio n u sin g t h e field p oin t - s o u r c e m e t h o d a r e p r o p o s e d . T his m e t h o d a p plic a tio n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s e q u a tio n s olu tio n, s u c h a s P ois s o n e q u a tio n, in m o s t c a s e s le a d s t o t h e d r a m a tic in c r e a s e o f t h e n u m e ric al e r r o r d u e t o mis t a k e s in P ois s o n e q u a tio n s p e cific s olu tio n. T h e rig h t m e m b e r o f P ois s o n e q u a tio n is a p p r o xim a t e d b y a t w o - dim e n sio n al trig o n o m e tric p oly n o mial (in t h e s olu tio n o f t w o - dim e n sio n al b o u n d a r y v alu e p r o ble m s ), t h e n it b e c o m e s p o s sible t o o b t ain t h e s p e cific s olu tio n n e c e s s a r y fo r s olvin g a n initial b o u n d a r y v alu e p r o ble m b y t h e field p oin t- s o u r c e m e t h o d. T h e t e s tin g r e s ult s o f t h e p r o p o s e d t e c h niq u e im ply it s e fficie n c y , a s t h e y allo w o b t ainin g t h e s olu tio n wit h a r ela tiv e e r r o r o f 1 0 − 6 a t minim u m m a c hin e tim e s p e n din g . T h e d e v elo p e d t e c h niq u e o f t h e n u m e ric al s olu tio n t o t h e b o u n d a r y v alu e p r o ble m s fo r P ois s o n e q u a tio n c a n b e u s e d f o r m o d elin g p h y sic al field s in t h e e n gin e e rin g d e vic e s o f v a rio u s a p plic a tio n s . K e y w o r d s : P ois s o n e q u a tio n , ellip tic b o u n d a r y v alu e p r o ble m s , field p oin t- s o u r c e m e t h o d, m e t h o d o f f u n d a m e n t al s olu tio n s.
About the Authors
Sergey Yuryevich KnyazevRussian Federation
Elena Evgenyevna Shcherbakova
Russian Federation
Alesha Aleksandrovich Yengibaryan
Russian Federation
References
1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближённых решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. — Москва : Наука, 1991. — 352 с.
2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, А. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9. — Pр. 69‒95.
3. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72, № 9. — С. 1259‒1261.
4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 3‒12. 5. Chen, C.
5. S. A domain embedding method and quasi-Monte Carlo method for Poisson’s equation / C. S. Chen, M. A. Golberg // BEM 17 / C. A. Brebbia, S. Kim, T. A. Osswald, H. Power, eds. — Southampton : Comput. Mech. Publ., 1995. — Pp. 115‒122.
6. Golberg, M. A. An efficient mesh-free method for nonlinear reaction-diffusion equations / M. A. Golberg, C. S. Chen // CMES 2 (1). — 2001. — Vol. 2 (1). — Pp. 87‒95.
7. Li, X. Convergence of the method of fundamental solutions for Poisson’s equation on the unit sphere / X. Li // Adv. Comput. Math. — 2008. — Vol. 28. — Pp. 269‒282.
8. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 2. — С. 77‒78.
9. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 3. — С. 11‒15.
10. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. — 2005. — Vol. 23 — Pр. 125‒142.
11. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Москва : Наука, 1966. — 632 с.
12. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.
Review
For citations:
Knyazev S.Yu., Shcherbakova E.E., Yengibaryan A.A. NUMERICAL SOLUTION TO BOUNDARY PROBLEMS FOR POISSON EQUATION BY POINTSOURCE METHOD. Vestnik of Don State Technical University. 2014;14(2):15-20. (In Russ.) https://doi.org/10.12737/4543