Preview

Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don)

Advanced search

NUMERICAL SOLUTION TO BOUNDARY PROBLEMS FOR POISSON EQUATION BY POINTSOURCE METHOD

https://doi.org/10.12737/4543

Abstract

The aim o f t his p a p e r is t h e e fficie n c y im p r o v e m e n t o f o n e o f t h e m o s t a d v a n c e d t e c h niq u e s o f s olvin g t h e ellip tic b o u n d a r y v alu e p r o ble m s — t h e field p oin t- s o u r c e m e t h o d d e sig n a t e d a s t h e f u n d a m e n t al s olu tio n t e c h niq u e in t h e f o r eig n lit e r a t u r e. N o w it is u s e d p rim a rily f o r s olvin g L a pla c e e q u a tio n . S e v e r al alt e r n a t e n u m e ric al s olu tio n s t o t h e b o u n d a r y v alu e p r o ble m s f o r P ois s o n e q u a tio n u sin g t h e field p oin t - s o u r c e m e t h o d a r e p r o p o s e d . T his m e t h o d a p plic a tio n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s e q u a tio n s olu tio n, s u c h a s P ois s o n e q u a tio n, in m o s t c a s e s le a d s t o t h e d r a m a tic in c r e a s e o f t h e n u m e ric al e r r o r d u e t o mis t a k e s in P ois s o n e q u a tio n s p e cific s olu tio n. T h e rig h t m e m b e r o f P ois s o n e q u a tio n is a p p r o xim a t e d b y a t w o - dim e n sio n al trig o n o m e tric p oly n o mial (in t h e s olu tio n o f t w o - dim e n sio n al b o u n d a r y v alu e p r o ble m s ), t h e n it b e c o m e s p o s sible t o o b t ain t h e s p e cific s olu tio n n e c e s s a r y fo r s olvin g a n initial b o u n d a r y v alu e p r o ble m b y t h e field p oin t- s o u r c e m e t h o d. T h e t e s tin g r e s ult s o f t h e p r o p o s e d t e c h niq u e im ply it s e fficie n c y , a s t h e y allo w o b t ainin g t h e s olu tio n wit h a r ela tiv e e r r o r o f 1 0 − 6 a t minim u m m a c hin e tim e s p e n din g . T h e d e v elo p e d t e c h niq u e o f t h e n u m e ric al s olu tio n t o t h e b o u n d a r y v alu e p r o ble m s fo r P ois s o n e q u a tio n c a n b e u s e d f o r m o d elin g p h y sic al field s in t h e e n gin e e rin g d e vic e s o f v a rio u s a p plic a tio n s . K e y w o r d s : P ois s o n e q u a tio n , ellip tic b o u n d a r y v alu e p r o ble m s , field p oin t- s o u r c e m e t h o d, m e t h o d o f f u n d a m e n t al s olu tio n s.

About the Authors

Sergey Yuryevich Knyazev
Don State Technical University, Russia
Russian Federation


Elena Evgenyevna Shcherbakova
Don State Technical University, Russia
Russian Federation


Alesha Aleksandrovich Yengibaryan
Don State Technical University, Russia
Russian Federation


References

1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближённых решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. — Москва : Наука, 1991. — 352 с.

2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, А. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9. — Pр. 69‒95.

3. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72, № 9. — С. 1259‒1261.

4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 3‒12. 5. Chen, C.

5. S. A domain embedding method and quasi-Monte Carlo method for Poisson’s equation / C. S. Chen, M. A. Golberg // BEM 17 / C. A. Brebbia, S. Kim, T. A. Osswald, H. Power, eds. — Southampton : Comput. Mech. Publ., 1995. — Pp. 115‒122.

6. Golberg, M. A. An efficient mesh-free method for nonlinear reaction-diffusion equations / M. A. Golberg, C. S. Chen // CMES 2 (1). — 2001. — Vol. 2 (1). — Pp. 87‒95.

7. Li, X. Convergence of the method of fundamental solutions for Poisson’s equation on the unit sphere / X. Li // Adv. Comput. Math. — 2008. — Vol. 28. — Pp. 269‒282.

8. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 2. — С. 77‒78.

9. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 3. — С. 11‒15.

10. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. — 2005. — Vol. 23 — Pр. 125‒142.

11. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Москва : Наука, 1966. — 632 с.

12. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.


Review

For citations:


Knyazev S.Yu., Shcherbakova E.E., Yengibaryan A.A. NUMERICAL SOLUTION TO BOUNDARY PROBLEMS FOR POISSON EQUATION BY POINTSOURCE METHOD. Vestnik of Don State Technical University. 2014;14(2):15-20. (In Russ.) https://doi.org/10.12737/4543

Views: 499


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2687-1653 (Online)