Программное управление движением робота с дифференциальным приводом при разных моделях трения

Введение. В современном мире растет востребованность автоматических мобильных колесных аппаратов, активно исследуются возможности координации их работы. Значительный научный и прикладной интерес имеют вопросы автономности и управляемости мобильных роботов. В частности, рассматриваются подходы к расчетам мультифизических процессов, моделированию движения конкретных видов колес в разных условиях. Некоторые изыскания фокусируются на динамике деформируемых контактирующих тел при скольжении, качении и вращении. Результаты этих исследований находят применение в робототехнике [1–3]. Управление мобильными колесными аппаратами рассматривается на примере электрических самокатов «Сигвей» (Segway) [4].

Мобильные механизмы с простыми и эффективными системами управления движением колес нужны в первую очередь для работы в узких пространствах [5], для проведения исследований в сложных промышленных условиях [6].

В [7–11] показаны возможности точного моделирования динамики колесных аппаратов с учетом скольжения, верчения и качения колес.

При этом в литературе не описаны явления, возникающие при комбинации эффектов трения. Цель представленной работы — исследовать влияние поликомпонентного трения на динамику робота с дифференциальным приводом. Задачи: построить математическую модель движения робота с поликомпонентным трением и смоделировать программные движения.

Материалы и методы. Рассматривается схема двухколесного робота с дифференциальным приводом (рис. 1). Предполагается безотрывное движение колес радиуса R по опорной поверхности.

Центр тяжести платформы C смещен относительно геометрического центра платформы A по оси X на расстояние , по оси Y — на расстояние . Точки и — центры масс колес (индекс 1 соответствует левому колесу, индекс 2 — правому).

Вводятся следующие обозначения:

— масса платформы робота;

— момент инерции платформы относительно центра масс C;

— неподвижная система координат;

определяют положение точки A в ;

y — угол курса платформы;

— углы поворота колес (индекс 1 соответствует левому колесу, индекс 2 — правому);

— расстояние между колесами;

— моменты двигателей, приложенные к колесам.

Предполагается, что на опорное колесо 4 (рис. 1) действует только нормальная реакция опоры. Во время движения опорное колесо располагается на оси X на расстоянии от центра платформы

Результаты исследования

Математическая модель динамики робота. При описании движения робота с дифференциальным приводом в рамках неголономной механики применяются выражения, которые учитывают ограничения, связанные с отсутствием скольжения колес по отношению к поверхности:

(1)

где — проекции на оси Х и Y скоростей точек , являющихся центрами площадок контакта колес с опорной поверхностью.

Отметим, что для неголономной модели предполагается точечный контакт колес с поверхностью, т.е. площадка контакта каждого колеса вырождается в единственную точку контакта.

Рассмотрим выражения:

(2)

С их помощью можно получить равенства для угловых скоростей колес:

(3)

В общем случае, когда предполагается наличие площадки контакта, получим уравнения динамики робота с дифференциальным приводом:

(4)

Здесь

— проекции силы трения на направления скоростей скольжения центров пятен контакта колес;

— проекции силы трения на направления, перпендикулярные скоростям центров пятен контакта колес;

— слагаемые момента трения при верчении для двух колес;

— угловое ускорение верчения платформы;

— угловые ускорения колес, проецируемые на их ось вращения;

— масса каждого колеса;

и — моменты инерции колеса относительно соответствующих осей.

Для формирования управляющих воздействий будем использовать модель динамики робота, описанного в рамках неголономной механики [12]:

(5)

Ее также можно представить в виде:

(6)

где и — левые части уравнения (5).

Модель двигателей на ведущих колесах. Опишем модель двигателей, способных генерировать момент управления на ведущих колесах

Уравнения движения колесных двигателей постоянного тока можно выразить формулами [13]:

(7)

Здесь

— индуктивность проводников электродвигателей;

R — сопротивление электрическому току в цепи двигателя;

— электропитание для двигателя k;

— ток, проходящий через цепь якоря двигателя;

— конструкционные постоянные двигателей.

Предполагается, что двигатели ведущих колес имеют одинаковую характеристику. Из (7) видно, что

(8)

Учитывая (8), в первом уравнении из системы (7) получим дифференциальное уравнение относительно момента

(9)

Уравнение (9) разделим на множитель и получим:

(10)

Введем обозначения:

(11)

В таком случае управляющие моменты можно описать:

(12)

где

— константы;

— параметр, определяющий скорость переходных процессов в электрической части двигателей.

При игнорировании времени переключений в электромеханической системе двигателя:

(13)

Авторы [14] получили похожие формулы.

Исследуемые модели. Рассмотрим модели, описывающие динамику робота с дифференциальным приводом.

Модель 1 описывается уравнениями (6) и (12), когда длительность переходных процессов полагается исчезающе малой

(14)

Здесь вычисляются по формулам (3).

Для описания модели 2 применяются уравнения (4), (13), а также модель трения Кулона:

(15)

Модель 3 представлена уравнениями (4), (12). Кроме того, учитывается поликомпонентное трение, представленное в [12] с помощью разложений Паде:

, (16)

(17)

(18)

(19)

Здесь

— постоянные величины, которые находятся по формулам в [12];

α — угол, характеризующий направление линейных скоростей скольжения относительно точек контакта колес

— коэффициент, знак которого зависит от направления качения.

Для определения программного управления следует указать законы движения робота По (5) можно выразить величины в зависимости от времени. Используем известные значения для вычисления управляющих напряжений и , подаваемых на приводы колес:

(20)

Движение системы с заданными начальными условиями смоделировали в математическом пакете «Вольфрам математика» (Wolfram Mathematica).

Рассмотрим Для интеграции системы автоматически выбирали шаг интегрирования и задействовали встроенные численные методы Wolfram Mathematica с точностью результатов не менее 10^–6.

Из рис. 2 и 4 видно, что управление гарантирует точную реализацию программных законов движения после завершения переходных процессов в моделях 1 (неголономная) и 2 (с трением Кулона). В модели 3 (поликомпонентное трение скольжения, качения и верчения) после завершения переходных процессов из-за программного управления возникает постоянная ошибка в угловой скорости вращения платформы. Во всех рассмотренных моделях скорость скольжения колес в поперечном направлении быстро снижается до нуля. Случаи совпадения зависимостей, полученных для разных моделей, показаны на рис. 2 и 3.

Для проверки выполнения условий безотрывного движения опорного колеса запишем теорему изменения кинетического момента системы в проекциях на ось Y:

Согласно (4):

Из последнего уравнения получаем условие безотрывного движения опорного колеса:

С учетом (5):

Ускорения робота не превышали 1 м/c², поэтому данное неравенство выполняется в каждый момент времени.

Обсуждение и заключение. Итоги моделирования позволили сделать ряд выводов. Программное управление, основанное на неголономной модели 1, приемлемо для роботов, конструкция которых не учитывает контактное трение колес, возникающее при комбинации скольжения, верчения и качения. Однако при формировании управляющих воздействий для достижения более точного следования программным законам движения необходимо учитывать модель поликомпонентного трения. Полученное решение можно использовать при построении системы управления с прогнозирующей моделью (model predictive control). Такая разработка будет предметом дальнейшего исследования.