Экспериментальное исследование кинематики двухрядной планетарной передачи эллиптическими зубчатыми колесами с двумя внешними зацеплениями

А. А. Приходько; Н. Н. Белина; А. В. Новицкий; М. М. Щетинин

doi:10.23947/2687-1653-2024-24-4-360-368

Экспериментальное исследование кинематики двухрядной планетарной передачи эллиптическими зубчатыми колесами с двумя внешними зацеплениями

А. А. Приходько, Н. Н. Белина, А. В. Новицкий, М. М. Щетинин

https://doi.org/10.23947/2687-1653-2024-24-4-360-368

EDN: BSOKNM

Полный текст:

PDF (Rus) PDF (Eng) HTML (Eng) HTML XML (Eng) XML

сгенерировать QR код

Содержание

Перейти к:

Аннотация

Введение. Механизмы с некруглыми зубчатыми колесами вызывают широкий интерес исследователей и изобретателей вследствие их компактности и реализации широкого спектра передаточных функций. Развитие данной области стимулируется развитием и удешевлением технологий механической обработки и аддитивного производства, а также применением прикладных пакетов математического моделирования для анализа и синтеза некруглых зубчатых колес. Некруглые зубчатые колеса традиционно служат для передачи вращательного движения между параллельными осями с переменным отношением угловых скоростей. Однако их применение в схемах планетарных передач позволяет реализовать различные виды движения выходного звена. Анализ работ по тематике исследования показывает, что передачи с подвижными осями вращения недостаточно исследованы с точки зрения кинематики и динамики. Большинство научных работ раскрывают теорию таких механизмов, не проводя верификации полученных результатов на практике. Целью настоящей работы является экспериментальная верификация кинематики планетарного механизма с двумя внешними зацеплениями, имеющего в своем составе эллиптические зубчатые колеса.
Материалы и методы. Кинематическая модель исследуемого механизма построена на базе плана скоростей его звеньев, который позволил получить выражения для нахождения аналога угловой скорости и функции положения выходного вала. Экспериментальное исследование кинематики выполнено на лабораторном стенде, содержащем макет планетарного механизма с набором сменных зубчатых колес, абсолютные энкодеры на входном и выходном валах механизма, контроллер и ПК для регистрации и обработки сигнала. Анализ полученных результатов проведен на ЭВМ с использованием методов статистического анализа.
Результаты исследования. В результате кинематического анализа построены функции положения для трех вариантов планетарного механизма, имеющих различные геометрические параметры зубчатых колес и позволяющих реализовать различные виды движения выходного вала: возвратно-вращательное движение, движение с остановками и одностороннее неравномерное вращение.
Обсуждение и заключение. Анализ результатов эксперимента показал адекватность построенной математической модели кинематики реальным механизмам. Доверительный интервал ошибок измерения при уровне достоверности 95 % составил для первого варианта механизма 0,16 ± 0,08, для второго варианта — 0,57 ± 0,22 и для третьего — 0,08 ± 0,26. Предложенный планетарный механизм с эллиптическими зубчатыми колесами для реализации различных видов движения может быть применен в приводах технологического оборудования многих отраслей промышленности: химической и пищевой (перемешивающие устройства), нефтеперерабатывающей (станки-качалки для добычи нефти), машиностроительной (компрессоры, насосы, станки-автоматы) и других. Проведенные кинематические исследования планетарного механизма и их экспериментальный анализ необходимы при дальнейшем динамическом и силовом исследованиях, а также при проектировании приводов на базе предложенной передачи.

Ключевые слова

планетарный механизм, эллиптические зубчатые колеса, кинематический анализ, функция положения, статистический анализ, неопределенность измерения, доверительный интервал

Для цитирования:

Приходько А.А., Белина Н.Н., Новицкий А.В., Щетинин М.М. Экспериментальное исследование кинематики двухрядной планетарной передачи эллиптическими зубчатыми колесами с двумя внешними зацеплениями. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2024;24(4):360-368. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2024-24-4-360-368. EDN: BSOKNM

For citation:

Prikhodko A.A., Belina N.N., Novitskiy A.V., Shchetinin M.M. Experimental Study of the Kinematics of a Double-Row Planetary Mechanism Using Two Elliptical External Gears. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2024;24(4):360-368. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2024-24-4-360-368. EDN: BSOKNM

Введение. Механизмы с некруглыми зубчатыми колесами известны давно, однако их экспериментальные исследования и практическое внедрение долгое время были затруднены из-за узкой специализации таких механизмов, сложности и высокой стоимости их изготовления. В настоящий момент наблюдается повышение интереса исследователей к данной тематике. При этом большинство научных работ в области проектирования передач некруглыми зубчатыми колесами основано на анализе геометрии [1] и кинематики [2] с целью получения требуемой передаточной функции для практического применения [3]. В [4] и [5] разработаны и изучены механизмы для синтеза функций угловой скорости; исследователями предложена робототехника с некруглыми колесами, например, прыгающий робот [6], робот-гексапод [7], механизм экзоскелета для реабилитации коленного сустава [8]; исследованы с точки зрения кинематики [9] и динамики [10] более эффективные посадочные машины для сельскохозяйственной промышленности; разработаны и спроектированы многие другие устройства.

Обзор источников показал, что наиболее распространены зубчатые колеса с эллиптической центроидой [11][12]. Созданы машины [10] и устройства [4] с эллиптическими колесами, изучена геометрия [13], решены некоторые вопросы проектирования [14] и изготовления [15].

Эллиптические зубчатые колеса в основном применяются с целью передачи вращательного движения между параллельными неподвижными осями [16]. Однако такое использование некруглых колес позволяет получить лишь одностороннее неравномерное вращательное движение, что ограничивает сферу их применения. Планетарные передачи обладают более широкими возможностями для реализации сложных видов движения рабочих органов, а создание приводов на их основе позволит разработать и внедрить более эффективные и компактные машины различного технологического назначения.

По результатам анализа научной литературы в области передач некруглыми зубчатыми колесами в качестве объекта исследования предлагается планетарный механизм с эллиптическими колесами. Цель работы состоит в экспериментальном кинематическом анализе планетарной передачи и обосновывается необходимостью верификации теоретических положений для их корректного использования на следующих этапах проектирования — при динамическом, силовом анализе и расчетах на прочность.

Материалы и методы. Кинематическая модель механизма строится на основе плана скоростей его звеньев (рис. 1).

Рис. 1. План скоростей для рассматриваемого механизма: 1 — водило; 2 — вал сателлита; 3 — эллиптическое колесо на выходном валу; 4 — солнечное эллиптическое колесо; 5, 6 — эллиптические колеса сателлита

Аналог угловой скорости выходного вала определяется следующим образом [17]:

(1)

Отрезки BD, BC и DE определяются через полярное уравнение эллипса [17]:

(2)

где φ — угол поворота; e и a — эксцентриситет и большая полуось эллипса.

Определим радиусы зацепления колес 5 и 6:

(3)

(4)

где e₁ и e₂ — эксцентриситеты для каждой пары эллиптических колес, углы поворота которых и получены следующим образом:

(5)

(6)

Опираясь на план скоростей и учитывая уравнения (3), (4), определим искомые отрезки как:

(7)

(8)

(9)

Опираясь на (2)–(9), получим выражение для определения аналога угловой скорости выходного вала:

(10)

Угол поворота определяется интегрированием уравнения (10) по обобщенной координате :

(11)

Вариациями кинематической схемы механизма является замена эллиптических колес на цилиндрические в одной из пар, для исследования которых необходимо в полученной математической модели функции радиусов заменить на фиксированные значения.

Рассмотрим механизмы с парой эллиптических колес 3–6 (e = 0,28), и цилиндрическими колесами 4 и 5 следующих размеров:

вариант 1: R₅= 25 мм, R₄= 25 мм;
вариант 2: R₅= 18 мм, R₄= 32 мм;
вариант 3: R₅= 16 мм, R₄= 34 мм.

На рис. 2 показаны графики функций положения, полученные с использованием (11).

Рис. 2. Графики зависимостей для исследуемых конфигураций механизма

Анализ графиков показывает (на рис. 2 цифрами обозначены исследуемые варианты), что изменение размеров зубчатых колес позволяет получить различные виды движения выходного вала: возвратно-вращательное (вариант 1), прерывистое (вариант 2) и одностороннее неравномерное вращательное движение (вариант 3).

Результаты исследования. Анализ кинематики подтвердил реализацию различных передаточных функций, а изменение размеров зубчатых колес позволяет проводить кинематический синтез новых механизмов.

Объектом экспериментального исследования служит прототип, детали которого показаны на рис. 3.

Рис. 3. Детали исследуемого прототипа

Углы поворота измеряются абсолютными энкодерами (таблица 1).

Таблица 1

Характеристики энкодеров

Диаметр	Выходной сигнал	Разрешение	Линейность	Скорость чтения
22 мм	0–5 В	360°/ 4096 ≈ 0,088°	0,3 %	0,6 мс

Сигнал регистрируется контроллером Arduino и обрабатывается на ПК (рис. 4).

Рис. 4. Принципиальная схема (а) и внешний вид (б) экспериментального стенда: 1 — корпус; 2 — входной вал; 3 — выходной вал; 4, 5 — энкодеры; 6 — контроллер Arduino; 7 — персональный компьютер

Обработка и анализ результатов измерений осуществлялись в прикладном пакете MathCAD. Схемы исследуемых вариантов и результаты эксперимента показаны на рис. 5. φ₃,°.

Рис. 5. Результаты исследования: а — вариант 1; б — вариант 2; в — вариант 3

Как видно из графиков, измеренные значения углов поворота выходного вала адекватны построенной модели. Оценим результаты эксперимента инструментами статистического анализа.

Определим среднее значение ошибок измерения [18]:

(12)

где n — количество независимых наблюдений q_k.

Вычислим выборочную дисперсию:

(13)

Оценку дисперсии среднего значения получим следующим образом:

(14)

Стандартная неопределенность измерений по типу А определится [19]:

(15)

Принимая за значения q_k ошибки измерения и обрабатывая их согласно (12)–(15), вычислим неопределенность измерения. Результаты статистического анализа приведены в таблице 2.

Таблица 2

Статистический анализ ошибок измерения

Номер механизма	Количество измеренных значений	Среднее значение ошибки	Неопределенность измерения
1	195	–0,16°	0,04°
2	168	0,57°	0,11°
3	192	0,08°	0,13°

Доверительный интервал определяется как для уровня достоверности 95 % и составляет –0,16 ± 0,08 (вариант 1), 0,57 ± 0,22 (вариант 2), 0,08 ± 0,26 (вариант 3). Таким образом, построенная математическая модель кинематики адекватна физическим прототипам.

Обсуждение и заключение. Представлена планетарная передача с эллиптическими колесами, позволяющая реализовать неравномерное, прерывистое и возвратно-вращательное движение выходного вала. Вид движения определяется параметрами зубчатых колес.

Построена кинематическая модель передачи, получен закон движения выходного вала. Анализ механизмов с различными параметрами зубчатых колес показал реализуемость широкого спектра передаточных функций и видов движения выходного вала.

Соответствие результатов проведенного кинематического анализа реальным механизмам подтверждено экспериментальным исследованием функций положения выходного вала для трех вариантов физического прототипа. Проведенная оценка адекватности математической модели позволяет использовать ее при динамическом и силовом анализе машин на базе предлагаемых передач. Исследуемые варианты механизма могут применяться в приводах компактных и простых в уравновешивании технологических машин.

Список литературы

1. Lozzi A. Non-Circular Gears — Graphic Generation of Involutes and Base Outlines. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2000;214(3):411–422. https://doi.org/10.1243/0954406001523074

2. Qifeng Gao, Jun Ye, Can Liu. Design and Modeling of Noncircular Gear with Curvature Radius Function. Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. 2018;18(3):683–693. https://doi.org/10.3233/JCM-180819

3. Čavić D, Čavić M, Penčić M, Dorić J, Rackov M. IC Engine: Increasing Efficiency by Using Epicyclic Non-Circular Gear Train. In book: Lovasz EC, Maniu I, Doroftei I, Ivanescu M, Gruescu CM. (eds) New Advances in Mechanisms, Mechanical Transmissions and Robotics. Cham: Springer; 2020. P. 391–402. https://doi.org/10.1007/978-3-030-60076-1_36

4. JY Liu, SL Chang, D Mundo. Study on the Use of a Non-Circular Gear Train for the Generation of Figure-8 Patterns. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2006;220(8):1229–1236. https://doi.org/10.1243/09544062JMES268

5. Ottaviano E, Mundo D, Danieli GA, Ceccarelli M. Numerical and Experimental Analysis of Non-Circular Gears and Cam-Follower Systems as Function Generators. Mechanism and Machine Theory. 2008;43(8):996–1008. https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2007.07.004

6. Okada M, Takeda Y. Synthesis and Evaluation of Non-Circular Gear that Realizes Optimal Gear Ratio for Jumping Robot. In: Proc. IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. New York City: IEEE; 2013. P. 5524–5529. https://doi.org/10.1109/IROS.2013.6697157

7. Ke-Jung Huang, Shen-Chiang Chen, Haldun Komsuoglu, Gabriel Lopes, Jonathan Clark, Pei-Chun Lin. Design and Performance Evaluation of a Bio-Inspired and Single-Motor-Driven Hexapod Robot with Dynamical Gaits. Journal of Mechanisms and Robotics. 2015;7(3):031017. https://doi.org/10.1115/1.4029975

8. Terada H, Zhu Y, Suzuki M, Cheng C, Takahashi R. Developments of a Knee Motion Assist Mechanism for Wearable Robot with a Non-Circular Gear and Grooved Cams. In book: Lovasz EC, Corves B. (eds) Mechanisms, Transmissions and Applications. Dordrecht: Springer; 2012. P. 69–76. https://doi.org/10.1007/978-94-007-2727-4_6

9. Guo LS, Zhang WJ. Kinematic Analysis of a Rice Transplanting Mechanism with Eccentric Planetary Gear Trains. Mechanism and Machine Theory. 2001;36(11–12):1175–1188. https://doi.org/10.1016/S0094-114X(01)00052-0

10. Zhao Y, Yu GH, Wu CY. Circuit Simulation and Dynamic Analysis of a Transplanting Mechanism with Planetary Elliptical Gears. Transactions of the ASABE. 2011;54(4):1179–1188. https://doi.org/10.13031/2013.39016

11. Wunderlich W. Contribution to the Geometry of Elliptic Gears. Mechanism and Machine Theory. 1975;10(4):273–278. https://doi.org/10.1016/0094-114X(75)90072-5

12. Shinn-Liang Chang, Chung-Biau Tsay, Long-Iong Wu. Mathematical Model and Undercutting Analysis of Elliptical Gears Generated by Rack Cutters. Mechanism and Machine Theory. 1996;31(7):879–890. https://doi.org/10.1016/0094-114X(95)00121-E

13. Biing-Wen Bair. Computerized Tooth Profile Generation of Elliptical Gears Manufactured by Shaper Cutters. Journal of Materials Processing Technology. 2002;122(2–3):139–147. https://doi.org/10.1016/S0924-0136(01)01242-0

14. Yazar M. Design, Manufacturing and Operational Analysis of Elliptical Gears. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing. 2021;22(8):1441–1451. https://doi.org/10.1007/s12541-021-00549-3

15. Thai Hong Nguyen. Shaping the Tooth Profile of Elliptical Gear with the Involute Ellipse Curve. VNUHCM Journal of Engineering and Technology. 2021;4(3):1048–1056. https://doi.org/10.32508/stdjet.v4i3.820

16. Литвин Ф.Л. Некруглые зубчатые колеса. Москва-Ленинград: Машгиз; 1956. 220 с.

17. Prikhod’ko AA, Smelyagin AI. Kinematics of a Planetary Train with Elliptical Gears with Internal Gearing. Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2021;50(5):412–418. https://doi.org/10.3103/S1052618821050095

18. Hall BD, White DR. An Introduction to Measurement Uncertainty. Lower Hutt: Measurement Standards Laboratory of New Zealand; 2020. 50 p. https://doi.org/10.5281/zenodo.3872590

19. Бараш В.Я. Неопределенность и погрешность в современной метрологии. Законодательная и прикладная метрология. 2009;105(5):15–20.

Об авторах

А. А. Приходько

Кубанский государственный технологический университет
Россия

Александр Александрович Приходько, кандидат технических наук, доцент кафедры технической механики и специальных машин имени профессора А.А. Петрика

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2

Н. Н. Белина

Кубанский государственный технологический университет
Россия

Наталия Николаевна Белина, кандидат технических наук, доцент кафедры технической механики и специальных машин имени профессора А.А. Петрика

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2

А. В. Новицкий

Кубанский государственный технологический университет
Россия

Андрей Владимирович Новицкий, аспирант кафедры технической механики и специальных машин имени профессора А.А. Петрика

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2

М. М. Щетинин

Кубанский государственный технологический университет
Россия

Максим Максимович Щетинин, студент кафедры технической механики и специальных машин имени профессора А.А. Петрика

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2

Рецензия

Для цитирования:

For citation:

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.

ISSN 2687-1653 (Online)

Логин
Пароль
	Запомнить меня
Регистрация нового пользователя Забыли Ваш пароль?

Войти

Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don)

Экспериментальное исследование кинематики двухрядной планетарной передачи эллиптическими зубчатыми колесами с двумя внешними зацеплениями

Полный текст:

Аннотация

Ключевые слова

Для цитирования:

For citation:

Список литературы

Об авторах

Рецензия

Для цитирования:

For citation:

Использование куки-файлов