ON PRESENTATION OF GELFOND—LEONTIEV OPERATORS OF GENERALIZED DIFFERENTIATION IN SIMPLY CONNECTED REGION
Abstract
Some new properties of the multiplier are determined. A class of simply connected regions whose multiplier is a connected set is described. This class is characterized by the availability of spirals in a multiplier. Let the Gelfond—Leontiev generalized differentiation operator be continuous in the space of the analytic functions in simply connected region G of a complex plane. It is known to be presented as an operator of general complex convolution. The convolution kernel is generated by the many-valued function of one variable. The set M(G) with the property M(G)·G⊆G is called multiplier G. Let the region multiplier be connected, and it does not align with identity. It is proved in the paper that the functions under consideration will be univalent under these conditions. If multiplier G is unconnected, then there is always a generalized differentiation Gelfond—Leontiev operator with a many-valued generating function.
About the Author
Alexander Vasilyevich BratishchevRussian Federation
References
1. Гельфонд, А. О. Об одном обобщении ряда Фурье / А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев // Математический сборник. — 1951. — Т. 29, № 3. — С. 477‒500.
2. Bieberbach, L. Analytische Fortsetzung / L. Bieberbach. — Berlin : Gottingen : Heidelberg : Springer-Verlag, 1955.
3. Köthe, G. Dualitat in der Funktionentheorie / G. Köthe // J. reine angew. math. — 1953. — Bd. 191. — S. 30‒49.
4. Коробейник, Ю. Ф. Об операторах обобщённого дифференцирования, применимых к любой аналитической функции / Ю. Ф. Коробейник // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, № 4. — С. 833‒854.
5. Леонтьев, А. Ф. Обобщённые ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. — Москва : Наука, 1981. — 320 с.
6. Братищев, А. В. О представлении оператора обобщённого дифференцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Братищев, А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2005. — Т. 5, № 4. — С. 481‒490.
7. Моржаков, А. В. Исследование операторов и операторных уравнений, порождённых обобщённым дифференцированием : автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / А. В. Моржаков. — Ростов-на-Дону, 2008. — 15 с.
8. Братищев, А. В. О представлении линейных операторов, коммутирующих с дифферен-цированием, в односвязной области / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2014. — Т. 14, № 1. — С. 15‒21.
9. Братищев, А. В. Описание обобщённых преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2001. — Т. 1, № 1. — С. 79‒89.
10. Моржаков, А. В. О представлении оператора обобщённого дифференцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2006. — Т. 6, № 1 (28). — С. 10‒16.
Review
For citations:
Bratishchev A.V. ON PRESENTATION OF GELFOND—LEONTIEV OPERATORS OF GENERALIZED DIFFERENTIATION IN SIMPLY CONNECTED REGION. Vestnik of Don State Technical University. 2014;14(2):21-27. (In Russ.) https://doi.org/10.12737/4536