Математическая модель движения бурового раствора по сетке вибросита

Введение. Пропускная способность комплекса очистки бурового раствора от шлама циркуляционной системы буровой установки лимитируется расходом циркулирующего бурового раствора, который должен быть очищен должным образом [1]. Под пропускной способностью понимается объем бурового раствора, просеянный сквозь сетку, а в качестве расхода — объем бурового раствора, протекший без просеивания. Вибросито является первым технологическим аппаратом в этом комплексе и осуществляет грубую очистку. Поэтому его пропускная способность в основном определяет пропускную способность всей системы очистки.

Пропускная способность комплекса очистки циркуляционной системы (ЦС) стандартной буровой установки должна превышать производительность бурового насоса и составлять порядка 30–80 л/с. Недостаточная пропускная способность ЦС ограничивает скорость проходки [2].

Циркулирующий буровой раствор поступает на вибросито напрямую из устья скважины по желобу. Здесь нет промежуточных емкостей, поэтому даже если его расход кратковременно превысит пропускную способность вибросита, то буровой раствор по сетке перельется в отвал, что приведет к его потере. Если помощник бурильщика откроет шиберную заслонку, то неочищенный буровой раствор мимо сетки вибросита поступит в емкость. Это крайне нежелательный случай, так как шлам оседает в емкости, не позволяя перекачивать его насосом в пескоотделитель. Это резко снижает степень очистки бурового раствора, что приводит к увеличению затрат на бурение и даже к осложнениям в скважине [2].

Пропускная способность конкретного вибросита во многом определяется размером ячейки сетки, которой оно оснащено. С уменьшением размера ячейки существенно уменьшается пропускная способность вибросита, но повышается степень очистки бурового раствора. На практике для предотвращения пропуска раствора мимо вибросита на нем устанавливают сетку с более крупной ячейкой с большим, но неизвестным запасом по пропускной способности [1].

Реальное измерение пропускной способности вибросита затруднено, т.к. после просеивания через сетку раствор сливается в емкость под виброситом самотеком, не проходя по трубопроводу. Поэтому определение пропускной способности бурового вибросита проводилось косвенными методами.

В работе [2] на основании производственного опыта указаны параметры, изменяющие пропускную способность: увеличение длины сетки, снижение скорости потока, уменьшение угла наклона сетки, изменение направления перемещения частиц, уменьшение амплитуды колебаний сетки, одновременное использование двух последовательных или параллельных сеток. Однако авторы не приводят количественные показатели данных параметров. В работе [3] приведены значения пропускной способности бурового вибросита при работе с различными буровыми растворами, но не приводится общая формула. В¹ указывается только формула для расчета изменения пропускной способности. Задача выбора сетки для конкретного случая решена в обзоре коллектива американских инженеров². Она состоит в том, чтобы выбрать сетку с наименьшей ячейкой, при которой вибросито обладало бы пропускной способностью больше заданной. Для испытаний сеток разработано несколько методов, но все они далеки от условий работы вибросит на буровых установках. Так в стандарте API Recommended practice 13C сетки испытываются или просеиванием смеси калиброванных гранул на стандартном вибростенде или процеживанием минерального масла через неподвижную сетку. В работе [4] сделана попытка на основе уравнения Навье-Стокса аналитически описать движение потока бурового раствора по сетке и процесс просеивания его через сетку. Результаты моделирования не учитывают динамические параметры грохота. Эти параметры учтены в работе [5], но в качестве исследуемого не для бурового раствора, а для угольного шлама. Количество всего удаляемого шлама от общей массы сравнительно невелико [6]. Такая концентрация шлама не оказывает заметного влияния на реологию бурового раствора [3]. Соответственно разделение процесса обезвоживания, приведенное в [7] нецелесообразно. Большая концентрация шлама наблюдается в буровом растворе, выходящего из пескоотделителей и илоотделителей, который очищается на втором вибросите³.

Из всего вышесказанного следует, что определить значение пропускной способности бурового вибросита с помощью теоретических исследований пока не получалось. Поэтому целью данной работы было моделирование полной пропускной способности бурового вибросита на основании проведенных ранее лабораторных экспериментов по определению удельной пропускной способности.

Удельная пропускная способность. Коллективом с участием автора ранее была разработана методика [7], техническое и программное обеспечение для экспериментального определения математической модели удельной пропускной способности конкретной сетки первого вибросита по реальному буровому раствору для конкретного вибросита, проведены экспериментальные исследования [8]. Если у всех точек рамы сита, расположенных по линии сетки, траектории виброколебаний одинаковы, или, как говорят в вибротехнике «траектории однородны», то достаточно провести один эксперимент. Если траектории неоднородны, то достаточно провести три эксперимента при траекториях на краях и в центре сетки. В любом случае параметры виброколебаний точек рамы у производственного вибросита должны быть известны и реализованы в экспериментах.

Известны экспериментальные стенды других ученых, например, в работе [9] описан стенд, который создает полигармонические траектории колебаний. Это достигается соответствующей компоновкой системы привода с кратной частотной вращения. В ходе экспериментов получены даже фигуры Лиссажу [10]. Полученная наилучшая конструкция может работать менее эффективно за счет внешних воздействий. При этом целью автоматического управления является компенсация негативного влияния внешних воздействий. В работе [11] приведен способ управления, в [12] — динамические параметры вибросита в ходе управления, а в [13] приведен пример пошаговой оптимизации с помощью комплексов моделирования Adams и Nastran.

Граничные условия процесса просеивания

Наличие математической модели удельной пропускной способности недостаточно для определения пропускной способности бурового вибросита. Необходимо также знание распределения высоты слоя бурового раствора по длине сетки h(x) при известном расходе раствора, поступающего на сетку сита Q(0). Принять в первом приближении линейное распределение высоты по длине сетки не представляется возможным, так как неизвестно граничное условие в конце процесса просеивания h(0) Граничное условие начала процесса просеивания, как было описано ранее, известно и имеет вид h(0,8 ∙ L) = 0, где L — длина сетки, м.

В классической гидравлике известна математическая модель распределения высоты слоя жидкости по длине потока при безнапорном установившемся неравномерном течении жидкости в открытом канале [14]. Однако расход жидкости в этом случае постоянен по длине потока, а в нашем случае расход уменьшается вследствие просеивания части бурового раствора. Следовательно, установившееся движение потока бурового раствора по сетке вибросита представляет собой объект с распределенными по длине сетки переменными h(x) и Q(x).

Методы расчета распределенных объектов

Поиск инженерных решений подобных задач показал, что в электротехнике электрические длинные линии заменяют цепочкой сосредоточенных сопротивлений, емкостей и индуктивностей [15]. Протяженные газопроводы для моделирования их работы заменяют цепочкой перемежающихся емкостей и гидравлических сопротивлений [16]. Особенно часто подобный подход используется в динамике машин, где по чертежам общих видов строятся цепные расчетные схемы, состоящие из перемежающихся сосредоточенных масс или моментов инерции и сосредоточенных податливостей для вибрационных машин [17] и систем управления [18]. Это по сути является конечно-элементной аппроксимацией распределенных объектов.

Построение математической модели полной пропускной способности бурового вибросита

Построим расчетную схему потока бурового раствора из сосредоточенных емкостей и сосредоточенных гидравлических проводимостей, приведенную на рис. 1. Для этого разобьем длину сетки вибросита узловыми точками на равные участки длиной Δx = L/m, где m — число участков. Узловые точки обязательно должны стоять в начале и в конце сетки. В узловые точки поместим сосредоточенные емкости. Начальной и конечной емкости соответствует участок потока длиной 0,5 ∙ Δx, остальным емкостям — Δx.

Обсуждение и заключение. Математическая модель течения бурового раствора по сетке вибросита представляет собой систему из n уравнений (6) и n – 1уравнений (12).

Начальные условия для переменных h_i(0) принять нулевыми нельзя, так как это приведет к делению на ноль в уравнениях (12). Поэтому рекомендуется принять эти условия ненулевыми, но достаточно малыми, например, h_i(0) = 0,0001.

Моделирование системы уравнений (6) и (12) можно производить в моделирующих средах, например, MATLAB с приложением Simulink или SimInTech. В любом случае надо определиться с количеством узловых точек цепной расчетной схемы на рис. 1. Пропускная способность вибросита, оснащенного конкретной сеткой, равна расходу Q_{1 зад}, при котором последние 20–25 % длины сетки были бы свободны от бурового раствора и использовались для обезвоживания шлама⁴. Поэтому предпоследняя узловая точка при минимальном количестве этих точек должна находится на таком же расстоянии от края сетки. Отсюда следует Δx ≈ 0,15 ∙ L, чему соответствует семь узловых точек.

В этой работе стояла задача определения установившегося движения потока бурового раствора, а точнее его профиля. Переходный процесс этого движения автор вынужден был использовать, так как невозможно было установить левое граничное условие h₁(∞), вместо которого использовано косвенное задание этого граничного условия Q₁(t) = Q_{1 зад}. Окончательное количество узловых точек определится только в процессе моделирования по показателю точности профиля бурового раствора. Для этого производят моделирование математической модели (6) и (12) с n и n + 1 узловыми точками. Если наибольшая разность профилей потока превосходит, например, 5 % от значения высоты слоя раствора в этой точке, то увеличивают число узловых точек на единицу до n + 2 [22]. Затем производят моделирование c n + 2-ми узловыми точками и сравнивают профили потока этого моделирования с результатом предыдущего моделирования с n + 1 точками. По достижению заданной погрешности в дальнейшем используют математическую модель с последним значением количества узловых точек.

Полученная математическая модель движения потока бурового раствора по сетке вибросита совместно с ранее полученной математической моделью удельной пропускной способности сетки по конкретному буровому раствору [8] позволяет обоснованно рекомендовать установку сетки с определенными размерами ячеек для различных расходов бурового раствора, истекающего из устья скважины.